Es war eine Art politisch motivierte (idiologische) Privatarmee der Partei (NSDAP), die in Führung und Organisation grundsätzlich undabhängig von Militär (Wehrmacht) sein sollte, da Hitler diesem, ähnlich wie Stalin, aber nicht so weitgehend in den Folgen, nicht vollumfänglich vertraute, was die Loyalität zum NS-Staat und Partei anging (weshalb ja auch die SS für Hitlers Schutz zuständig war).
Am nächsten kommt dem ursprünglichen Konzept der Waffen-SS dabei, organisatorisch betachtet, vermutlich noch die "Nationalgarde", respektive auch in einigen Aspekten die "Palastwache / Königliche Garde" in Monarchien, nur halt das die idiologische Weltsicht und politische Bildung, im Sinne der NS-Idiologie, in der Waffen-SS noch einen weit größeren Stellenwert einnahm, während möglichst gute militärische Fähigkeiten immer ehr als "sekundär" betachtet wurden (Fanatismus für die Sache sei wichtiger für einen guten Soldaten, als sein militärisches Können).
Wieso "in Monarchien"? Deine Beschreibung passt doch wie die Faust aufs Auge auf Putins
Nationalgarde. (Okay, wenn der mal einen Erben einsetzt, zählt er auch als Monarch

)
Aber das ist eben was fundamental anderes als eine Söldnertruppe wie Wagner. Russische Nationalgarde respektive Waffen-SS sind bzw. waren (zum prägenden Ende hin) staatliche Einrichtungen unter direkter Führung eines Despoten. Ihre Mitglieder durch Loyalität/Recht/Eid verpflichtet, ihre primärer Daseinszweck Macht- und Willkürdurchsetzung ihrer Chefs im eigenen Reich.
Söldnertruppen wie Wagner oder, zu einem geringeren Teil, Blackwater (verwechselt die eigentlich noch wer mit Blackrock oder bin ich der einzige

?) sind private Unternehmungen, ihre Mitglieder sind wegen des (weitaus höheren) Lohns dabei, sie haben keine Sonderrechte im Inneren und sie setzen nicht die Ideen ihres Chefs, sondern die eines Auftragsgebers durch. In aller Regel in einem anderen Land.
Die einzige Gemeinsamkeit ist eigentlich, dass sie kämpfen können sollten und deswegen manchmal an Stelle von regulären Soldaten genommen werden, wenn einem reguläre Soldaten für die jeweilige Aufgabe fehlen. Aber das gilt auch für Polizisten, die die Ukraine verteidigen, für Hitlers Volkssturm (mit etwas weniger "können" im "kämpfen können"), teils sogar für kriminelle Organisationen. (Katastrophehilfe durch Yakutza z.B.)
Ich hatte immer bisher gedacht das die SS eine Art Elitegarde der deutschen Wehrmacht gewesen ist.
Dort gab es ja auch angebliche "spezielle" Anforderungen. Welche u.a. rassistisch motiviert waren.
Aber auch die Körpergröße, Tauglichkeitsgrad usw betrafen.
Die speziellen Anforderungen wurden, wie praktische alle Anforderungen, durch die Nazis immer weiter runtergeschraubt, je knapper das Angebot wurde. (Eine weitere Parallele zu Putin)
Aber die Waffen-SS gehörte organisatorisch nie zur Wehrmacht. Wehrmachtsangehörige und deren Angehörige bestehen bis heute darauf, dass nur "die anderen" böse waren und man selsbt ja nur quasi zufällig irgendwie durch die Gegend spaziert ist. In der Praxis führte die enge politische und militärische Verzahnung des Naziregimes sowie die gute materielle Ausstattung der Waffen-SS und die gute personelle der Wehrmacht zwar häufig zu Zusammenarbeit (wer da häufiger unter wessen Kommando stand, kann ich nicht sagen) und an den meisten großen Verbrechen sowie den meisten größeren Kämpfen in den letzten 1-2 Kriegsjahren waren somit beide beteiligt. Aber afaik nie innerhalb einer fixen gemeinsamen Struktur und definitiv nicht mit einem als Untermenge des anderen.