Quantenmechanik, Doppelspaltversuch mit Hausmitteln?

[bishop]

vielleicht lässt du dich durch das folgende Setup überzeugen:

nehmen wir an du würdest einen Roboter fernsteuern, der nur eine Kamera hat, die nach unten auf die Ebene blickt. Dadurch siehst du tatsächlich nur die Seiten und hast keine Information über die dritte Dimension. Trotzdem könntest du all die Operationen, die ich beschrieben habe durchführen und letzten Endes die Krümmung des Raumes bestimmen.

Die Existenz einer dritten Dimension würdest du zum Beispiel dadurch messen, dass du die Ausbreitung von Elektromagnetischen Wellen beobachtest. Dadurch, dass Energie in den Raum entweicht wirst du in der Ebene weniger messen als du in einem zweidimensionalen Raum erwarten würdest. Somit würdest du die Existenz einer dritten Dimension annehmen. Das ist im Übrigen auch genau das, was die Stringtheoretiker versuchen wollen zu zeigen. Man misst die Gravitationskraft zwischen Körpern, die weniger als einen Millimeter voneinander entfernt sind und hofft eine Abweichung von der bekannten Formel festzustellen. Hier würden plastisch gesagt gravitonen in die zusätzlichen Dimensionen entweichen und man misst weniger als man erwarten würde. Das Ganze zeigt sich nur auf kleinen Entfernungen, weil diese Extradimensionen wie schon gesagt sehr klein "aufgerollt" sein sollen.

gruß

 

[akaEmpty]

Nehmen wir an du wachst auf auf einer komplett weissen Fläche. Sie ist unbeschränkt groß, egal wie weit du läufst findest du keine Geländemerkmale, du hast kein Gefühl für Entfernungen usw. Wie findest du heraus welche Form diese Welt hat?

"sie ist unbeschränkt groß" würde ja dann eigentlich kugeln ausschließen, oder?

grundsätzlich denke ich, wenn es so einfach wäre, die anzahl der dimensionen zu bestimmen, würde der mensch nicht so verzweifelt versuchen dies rauszufinden. und genauso schwer, wie es für uns ist, herauszufinden, wieviele dimensionen sich unserer wahrnehmung entziehen, wäre es auch für "2-dimensionale", egal wieviel dimensionen ihre "mannigfaltigkeit" hätte (sie würden nur 2 wahrnehmen).

 

[bishop]

hrm ja, gemeint war, dass sie beliebig groß ist, da habe ich mich etwas unklar ausgedrückt.

So verzweifelt ist die Suche ja auch gar nicht^^ Nur die Stringtheoretiker brauchen das ja, afaik kommt die Alternative der Quantenloops auch ohne Extradimensionen aus, zumindest sagt Tante Wiki, dass solche Betrachtungen da eher von untergeordneter Bedeutung sind.

 

[ruyven_macaran]

vielleicht lässt du dich durch das folgende Setup überzeugen:

Nö

nehmen wir an du würdest einen Roboter fernsteuern, der nur eine Kamera hat, die nach unten auf die Ebene blickt. Dadurch siehst du tatsächlich nur die Seiten und hast keine Information über die dritte Dimension.

Wiederum gilt:
Ich betrachte vielleicht ein Objekt, dass sich als zweidimensional beschreiben lässt, ich habe aber Wahrnehmung in drei Dimensionen. Die Kamera zeigt mir Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, sondern deren Position sich auch in einer dritten Dimension unterscheidet.

Ich bleibe dabei: Eine Wahrnehmung, die vollständig auf zwei Dimensionen beschränkt ist, kann die Oberfläche einer Kugel nicht abbilden. Sie kann nur einen Schnitt dieser Kugel zeigen. Wenn Bewegungen nur entlang der beiden Wahrnehmungsdimensionen möglich sind (sowie beim Menschen mit seinen dreien), dann kann sie sogar nur einen einzigen bestimmten Schnitt zeigen - erst wenn die Kugel sich selbst entlang der dritten Dimension bewegt, würde sich ein anderes Bild ergeben. Innerhalb der ersten zwei Dimensionen ließe sich dieses aber nicht als Bewegung, sondern nur als allgemeine Änderung der Eigenschaften des Schnittes wahrnehmen.

Die Existenz einer dritten Dimension würdest du zum Beispiel dadurch messen, dass du die Ausbreitung von Elektromagnetischen Wellen beobachtest. Dadurch, dass Energie in den Raum entweicht wirst du in der Ebene weniger messen als du in einem zweidimensionalen Raum erwarten würdest. Somit würdest du die Existenz einer dritten Dimension annehmen. Das ist im Übrigen auch genau das, was die Stringtheoretiker versuchen wollen zu zeigen.

Das Problem bei dieser (mir ebenfalls bekannten ) Betrachtungsweise ist aber eben, dass man Fehler, die sich in einer existierenden Formel ergeben, durch die Existenz weiterer Dimensionen korrigieren möchte. Das ist eine eher schwache Argumentation, da sie mit der (willkürlichen) Annahme "die Formel muss richtig sein" beginnt und mit unabhängig davon nicht belegbaren Annahmen über das Universum endet. Kann man natürlich machen und z.B. durch die Feststellung, dass andere Formeln durch den gleichen Ansatz verbessert werden, erhärten. In der Praxis sieht es aber ja so aus, dass verschiedene Probleme auf eine unterschiedliche Zahl an Dimensionen lassen...


Das steht in scharfen Kontrast zu dem schönen Beispiel mit Kugel und Kreis, die mit eindeutigen und allgemein (in 2d) stimmenden Aussagen beginnen und dann einheitliche Veränderungen auf einer Kugel ergeben, woraus sich eindeutige Rückschlüsse auf die Zahl der Dimensionen ziehen lassen. (- würden. Wenn denn die Messungen in 2d überhaupt möglich wären )

 

[bishop]

Vorsicht, die Oberfläche einer Kugel ist zweidimensional, auch wenn sie den Rand eines dreidimensionalen Objekts darstellt!

Wenn ich herausfinde, dass die Ebene auf der ich mich befinde die Form einer Kugelschale hat, so folgt daraus nicht, dass es eine dritte Dimension geben muss in die sich besagte Kugel ausdehnt.

Das ist ja auch genau die Crux in der Allgemeinen Relativität, sie beschreibt die Raumzeit als vierdimensionale Mannigfaltigkeit, aber sie braucht keine vierte Raumdimension um die Expansion des Weltalls zu beschreiben.

Die Anzahl der Raumdimensionen ist buchstäblich die Anzahl der zu einander senkrechten Richtungen in die du gehen kannst. Daher auch das Beisppiel des Roboters, der nur nach unten schauen kann, wegen mir kannst du dir auch vorstellen, dass dein Kopf so fixiert ist, dass du nicht ab/oder aufwärts sehen kannst und auch nicht springen kannst. Wenn es nur zwei Richtungen gibt in die du gehen kannst, dann hat der Raum für dich auch nur zwei Dimensionen.

Und du hast natürlich recht, es mag verlockend erscheinen sich zusätzliche Dimensionen hinzuzudichten um bestimmte Formeln hinzubiegen aber genau das ist ja auch das Problem. Wir Menschen können in drei verschiedene Raumrichtungen gehen, das bedeutet, dass die zusätzlichen Dimensionen nur dann überhaupt eine Chance haben entdeckt zu werden, wenn besagtes Gravitationsexperiment abweichende Ergebnisse liefert.

Aber ich fürchte, dass wir mal wieder an einem Punkt angelangt sind wo ich nur noch mathematische Argumente bringen kann und du kannst dich einfach dazu entscheiden sie nicht zu glauben, da das Ganze ja höchst unüberprüfbar ist. Der Mensch hat immer eine dreidimensionale Wahrnehmung, und durch projektion kann er diese zwar künstlich reduzieren aber dass sich dadurch kein Unterschied zu einem Wesen, das in Flatland lebt ergibt kannst du mir glauben oder auch nicht.
Andererseits wäre es für einen Menschen extrem schwierig seine Wahrnehmung auf die vierte Dimension auszuweiten, mathematisch ist das machbar, aber zum Beispiel gibt es kein "Bild" davon.

Meine Aussagen sind also folgende: WIr können zweifelsfrei feststellen, dass unser Universum räumlich mindestens dreidimensional ist. Eventuelle zusätzliche Raumdimensionen sind zwar prinzipiell feststellbar, jedoch nur von sehr marginalem Interesse für uns, da wir sie nicht betreten können, im Sinne von, dass sie einfach zu klein für uns sind um reinzupassen.
Wir können weiterhin durch geeignete Messungen feststellen welche Struktur unser Unversum hat. Wir können aber nicht sagen ob unser Universum einfach nur der Rand von etwas höherdimensionalem ist, denn das ist für uns nicht feststellbar und aber auch nicht zwingend erforderlich.

Man muss wohl sagen, dass die SciFi Autoren mit Ihrer fixen Idee von "Warpräumen" und "Slipstreams" der Wissenschaft keinen Gefallen getan haben, denn jetzt denkt jeder, dass es sowas geben muss obwohl das eigentlich höchst "unerwünscht" aus irgendwelchen ästhetischen Gründen ist. Jedes mal wenn jemand irgendwelche Extradimensionen ausser den uns so liebgewonnenen drei erfinden muss dreht sich Ockham im Grabe um

gruß und gute Nacht

 

[akaEmpty]

Wenn ich herausfinde, dass die Ebene auf der ich mich befinde die Form einer Kugelschale hat, so folgt daraus nicht, dass es eine dritte Dimension geben muss in die sich besagte Kugel ausdehnt.

d.h. es gibt kugeln (3-dimensionale objekte) in 2-dimensionalen "mannigfaltigkeiten"?

Andererseits wäre es für einen Menschen extrem schwierig seine Wahrnehmung auf die vierte Dimension auszuweiten, mathematisch ist das machbar, aber zum Beispiel gibt es kein "Bild" davon.

ich dächt, ich hätt mal so ein "bild" gesehen...

Eventuelle zusätzliche Raumdimensionen sind zwar prinzipiell feststellbar, jedoch nur von sehr marginalem Interesse für uns, da wir sie nicht betreten können, im Sinne von, dass sie einfach zu klein für uns sind um reinzupassen.

zumindest würde ich sagen "NOCH von sehr marginalem interesse" und außerdem "sind sie zu klein, bist du zu groß" - wir haben elektronenraster-mikroskope, um atome zu beobachten, obwohl wir zu groß sind, um in den raum zwischen ihnen zu passen, wir forschen nach nullpunkternergie, obwohl etc. ... all das hat doch im prinzip einen nutzen, wenn man ihn sich erschließt. dafür muß man aber erstmal danach forschen und wer weiß, welchen nutzen man daraus ziehen kann, wenn man zusätzliche dimensionen entdeckt... es muss ja kein mensch rein passen, aber was könnte man darin entdecken oder für einen nutzen aus der entdeckung ziehen, wenn man z.b. irgendwas entwickelt, das statt des menschen hineinpasst?

 

[bishop]

d.h. es gibt kugeln (3-dimensionale objekte) in 2-dimensionalen "mannigfaltigkeiten"?

eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit kann durchaus identisch sein mit dem zweidimensionalen Rand eines dreidimensionalen Objektes, doch dieses muss nicht unbedingt existieren.

ich dächt, ich hätt mal so ein "bild" gesehen...

Was du gesehen hast ist die Projektion eines vierdimensionalen Objektes auf zwei bzw drei Dimensionen. Das ist natürlich nicht wie das Objekt nativ in seinen vier Dimensionen aussehen würde bzw ist es nicht was wir mit einem imaginären vierdimensionalen Bewusstsein wahrnehmen würden

 

[ruyven_macaran]

Vorsicht, die Oberfläche einer Kugel ist zweidimensional, auch wenn sie den Rand eines dreidimensionalen Objekts darstellt!

Es gibt eine Definition von Dimension, in der diese einen Kreis bildet
Für mich war (ist) eine Definition so etwas wie die Achse eines Koordinantensystems: Vor allem schnurgerade. Das sie nach einer gewissen Strecke an ihren eigenen Anfang zurückkehrt (eine Umrundung) ist genausowenig vorgesehen, wie eine Interaktion mit einer anderen Dimension. (wenn ich mir die 2 "Dimensionen" der Kugel um die dritte = Höhe erweitere, könnte ich durch Bewegung ausschließlich entlang dieser dritten Dimension -sprich: bohren- an einen anderen -antipodalen- Punkt innerhalb der ersten beiden gelangen)
Meine bisherige Darstellung beruht deswegen darauf, dass eine Kugeloberfläche ein geometrisches Objekt ist, dass sich zwar (eingeschränkt...) zweidimensional projezieren lässt, aber de facto dreidimensional ist.

Die Anzahl der Raumdimensionen ist buchstäblich die Anzahl der zu einander senkrechten Richtungen in die du gehen kannst.

Genau das gilt bei einer Kugel eben nicht mehr, da verlaufen z.B. nicht alle in Ost-West-Richtung orientierten Geraden (bzw. Kurven. Geraden gibt es auf einer Kugeloberfläche erst recht nicht) rechtwinklig zu allen Geraden mit Nord-Süd-Orientierung. Im Gegenteil: Z.B. eine von ...äh... Süd-nach-Süd über den Nordpol in Verlängerung des Nullmeridians verlaufende Gerade ist parallel zu einer bei 90° Länge in Ost-West-verlaufenden Geraden entlang des Äquators.

Jedes mal wenn jemand irgendwelche Extradimensionen ausser den uns so liebgewonnenen drei erfinden muss dreht sich Ockham im Grabe um

Ich dachte immer, Astro- und Teilchenphysiker hätten ohnehin längst von Rasierklinge auf Mixer umgestellt
(ich warte ja immer noch darauf, dass eine Keule gefunden wird, die nachweislich im Besitz eines Herrn "Crabtree" war. Die hätte ich dann gerne für *was immer für einen Arbeitsplatz ich dann habe* )



edit
Gerade noch eingefallen: Der ganze Ärger mit Coriolis"kraft" suggeriert mir zusätzlich, dass die Betrachtung einer Kugeloberfläche in zweidimensionen weit ab von der physikalischen Wirklichkeit ist.

 

[akaEmpty]

ich glaube, es geht lediglich um die oberfläche der kugel, die 2 dimensional ist... es ist quasi eine 2-dimensionale, gekrümte "mannigfaltigkeit".

wir haben aber auch die ganze zeit über einen "wichtigen" fehler begangen, glaube ich.
bei der vorstellung von "flatland" und dessen bewohner, sind wir davon ausgegangen, daß sie sich "auf" der 2-dimensionalen fläche bzw. ebene bewegen, was aber falsch ist. sie sind eher "in" der fläche bzw. teil der fläche, welche auch keine dicke besitzt, weil dicke ein attribut der dritten dimension ist.

man kann es sich vereinfacht als blatt vorstellen, auf welches ein smiley gezeichnet ist (ein flatlander), dessen umriss mit der fläche verschmilzt. ein strich wäre z.b. auch eine unüberwindbares barriere für "flatlander".
und dieses blatt muss ja nicht zwangsläufig "flach" sein, sondern kann genauso gut gewölbt sein. dies würde nichts an den fakten von flatland und für seine bewohner ändern, außer ,wie gesagt, daß der (2-dimensionale) Raum gekrümt wäre.

 

[bishop]

nicht die Definition einer Dimension ändert sich, sondern die Definition des Raums. In jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit lässt sich ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen, dieses ist aber eben nicht universell für den ganzen Raum sondern immer verschieden. Tatsächlich enthält die Funktion, die die Relation zwischen Koordinatensystemen in verschiedenenen Punkten beschreibt, alle Information über diesen Raum.

Wenn du also auf (oder wie akaEmpty korrekt meinte "in") einer Kugelschale bist, dann kannst du lokal auf jedem Punkt ein zweidimensionales Koordinatensystem aufspannen und weisst dadurch, dass du auf einer Ebene bist. Von aussen gesehen sieht es jedoch so aus, dass sich die Koordinatensysteme zueinander immer weiter drehen je weiter du dich entfernst. Und tatsächlich ist es ja gerade diese Drehung durch die man eine Kugel charakterisieren kann, nämlich einfach über den Winkel an jedem Punkt.

Der Ärger mit der Corioliskraft kommt nicht direkt von der Kugelgestalt sondern von der Tatsache, dass sich die Erde dreht und dadurch ein beschleunigtes Bezugssystem darstellt wo wir aber ein ruhendes annehmen.

 

[ruyven_macaran]

wir haben aber auch die ganze zeit über einen "wichtigen" fehler begangen, glaube ich.
bei der vorstellung von "flatland" und dessen bewohner, sind wir davon ausgegangen, daß sie sich "auf" der 2-dimensionalen fläche bzw. ebene bewegen, was aber falsch ist. sie sind eher "in" der fläche bzw. teil der fläche, welche auch keine dicke besitzt, weil dicke ein attribut der dritten dimension ist.

Also ich red schon die ganze Zeit so
Deswegen hab ich ja zusätzlich auch noch die Strichwelt eingeführt, als Beispiel für die Frage, ob es eine oder mehrere zusätzliche Dimensionen gibt.

nicht die Definition einer Dimension ändert sich, sondern die Definition des Raums. In jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit lässt sich ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen, dieses ist aber eben nicht universell für den ganzen Raum sondern immer verschieden.

Wenn sich aber keine zwei Punkte meines Raumes in das gleiche Koordinatensystem einordnen lassen - wie führe ich dann die von dir vorgeschlagenen Messungen durch? Wie bewege ich mich überhaupt, wenn ich von Raum zu Raum springe, anstatt mich in einem Raum/in einem System zu bewegen?
(und mache Koordinatensysteme überhaupt Sinn, wenn in ihnen nur die Koordinate 0/0 liegt, weil Position 1/1 bereits im nichts und außerhalb von möchtegern-Flatland liegt?)

Wenn du also auf (oder wie akaEmpty korrekt meinte "in") einer Kugelschale bist, dann kannst du lokal auf jedem Punkt ein zweidimensionales Koordinatensystem aufspannen und weisst dadurch, dass du auf einer Ebene bist.

Einer "Ebene" mit einer Ausdehnung von einem Atomdurchmesser (perfekte Kugel aus realexistierendem Material) bzw. der Ausdehnung ->0 (perfekte Kugel)... (im Rahmen dieses Koordinatensystems)

Der Ärger mit der Corioliskraft kommt nicht direkt von der Kugelgestalt sondern von der Tatsache, dass sich die Erde dreht und dadurch ein beschleunigtes Bezugssystem darstellt wo wir aber ein ruhendes annehmen.

Nöp, die Kugelstalt spielt dabei auch eine wichtige Rolle (auf einer sich kontinuirlich bewegenden Fläche -also real-2D- gäbe es keine Corioliskraft), vor allem wenn der echte Ärger (nämlich die wechselnde Stärke der Corioliskraft) erklärt werden soll / berücksichtigt werden muss.

 

[bishop]

hmpf ich dachte wirklich es würde nicht dazu kommen -.-

also gut. Hast du dich je gefragt warum es Differentialgeomentrie heisst? Bis jetzt haben wir einfache Geomentrie gemacht, jetzt wird das ernst
Was man im wesentlichen macht ist ein Vektorfeld einzuführen, dessen Richtungsableitung in jedem Punkt ein Koordinatensystem liefert. Da das Vektorfeld stetig differenzierbar sein muss folgt daraus, dass die Koordinatensysteme in zwei benachbarten Punkten sich auch nur ein bisschen unterscheiden. Das bedeutet, dass es möglich ist zwei Punkte zu vergleichen auch wenn sie in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemen formuliert sind weil man genau weiss wie sich die Koordinatensysteme ändern.
Du fängst also an Vektorfelder und deren Ableitungen als Ort und Richtung zu missbrauchen und entsprechend kommt Integralrechnung in bis zu vier Dimensionen ins Spiel...

Und du kannst natürlich immer noch Kreise ziehen, weil du ja ein Geodreieck dabei hast, dessen Länge sich ja nicht ändert. Genaugenommen natürlich würde man eine einheitslänge parametrisieren, die in allen Bezugssystemen gleich ist.

ich fürchte ich kann wirklich nicht viel weiter gehen ohne anzufangen harte Mathe zu machen und das werde ich mangels Latex in diesem Forum einfach nicht tun^^

 

[ruyven_macaran]

Hilfe!

Ne, mir geht es nicht um die mathematischen Details und darum, ob irgendwelche Formeln aufgehen - also bitte nicht mit Formeln schmeißen
Mir ging es darum, die grundlegenden Eingenschaften des Konzeptes "Koordinatensystem"/"Dimension" zu verstehen.
Wenn ich dich richtig verstehe, dann wird, um zwei benachbarte Punkte auf einer Kugel in einem System (Vektorfeld) in Bezug zu setzen, bereits mit mehr als zwei Dimensionen gearbeitet (warum man vier brauchen sollte, will ich gar nicht wissen ). Mein Wiederspruch, dass man mehrere Punkte auf einer Kugel nicht mit einem einzelnen rein zweidimensionalen System erfassen kann, hat also bestand - ist aber in der allgemeinen Physik gar nicht von Bedeutung?

 

[bishop]

hmpf ich glaube da habe ich doch wieder mehr Verwirrung als Klarheit angerichtet -.-

Vierdimensional fährst du deswegen, weil du ja hauptsächlich in der ART Differentialgeometrie beschreibst, und die allgemeine Relativität ist ja vierdimensional.

Dass ich doch wieder in die dritte Dimension gegangen bin um die änderung der Koordinatensysteme zu veranschaulichen hatte nur anschauliche Gründe.
Ich denke du hast schon mal Kugelkoordinaten gesehen, diese hängen von zwei Winkeln und dem Radius ab. Wenn du den Radius fixierst, dann hast du gerade wieder die Kugelschale, aber nur noch zwei Freiheitsgrade, nämlich die zwei Winkel. Daraus folgt direkt, dass die Kugelschale zweidimensional ist, es ist nur etwas angenehmer sie aus der dritten Dimension heraus zu betrachten, aber keinesfalls notwendig.

Ich hoffe, dass du wenigstens das aus diesem Thread mitnimmst: gekrümmte Flächen brauchen nicht zwingend eine weitere Dimension in die sie sich "hineinkrümmen" Von aussen auf eine Kugelschale draufschauen liefert zwar bessere Übersicht und anschaulichkeit, aber eigentlich keine neuen Informationen!

Und ja, du kannst zwei Punkte auf einer Kugelschale vergleichen auch wenn du nicht von aussen darauf schaust wenn du die Krümmung kennst. Denn aus der Krümmung folgen die sogenannten Christoffelsymbole, das sind anschaulich gesprochen Korrekturfaktoren um wie viel sich dein Koordinatensystem geändert hat wenn du zu einem anderen Punkt gehst.

 

[akaEmpty]

Ich hoffe, dass du wenigstens das aus diesem Thread mitnimmst: gekrümmte Flächen brauchen nicht zwingend eine weitere Dimension in die sie sich "hineinkrümmen"

da hab ich aber was anderes gelesen...

es macht nur keinen unterschied für ein 2-dimensionales system, wenn es darüber hinaus noch weitere dimensionen gibt, außer das es in diesem fall gekrümmt sein kann...

ist die annahme nicht korrekt, daß wenn man herausfindet, daß unser universum gekrümmt ist, dies darauf schließen lässt, daß über "unseren" 3 dimensionen noch mindestens eine 4. raumdimension existiert?

 

[bishop]

nope, genau das ist es.

Unser Universum ist ja gekrümmt durch die in ihm enthaltene Energie, trotzdem ist es dreidimensional.
Du kannst natürlich wenn du magst es auch eingebettet in einem vierdimensionalen Euklidischen Raum vorstellen, aber dadurch ergibt sich für die Theorie keinerlei Unterschied. Und weniger ist offensichtlich besser, das sagt zumindest Onkel Ockham

 

[akaEmpty]

wenn es gekrümmt ist, sagt einem doch der gesunde menschenverstand schon, daß es einen höher dimensionierten raum geben muss, worin dies geschieht.

was mich dabei auch noch beschäftig ist, da unsere erde auch gekrümmt ist, kommt man irgendwann wieder am ausgangspunkt an, wenn man sich nur lang genug immer in die selbe richtung bewegt.

wenn man davon ausgeht, daß das universum gekrümmt ist, würde man dann das selbe erleben, wenn man sich lange - und schnell - genug immer in die selbe richtung bewegt?

Edit: was mir bislang auch schon klar war, ist die krümmung des raumes durch massereiche objekte... auch die effekte, die damit einher gehen, so das zum beispiel durch die krümmung des raumes, hervorgerufen durch die masse der erde, im inneren der erde mehr platz ist, als man vermuten würde (oder war es weniger?)... und wenn man fällt, daß man dies nicht tut, weil die erde uns anzieht, sondern weil man entlang des gekrümmten raumes fällt - d.h. es gäbe keinen freien fall, würde die erde nicht den raum krümmen... was widerum im gegensatz zu dem steht, wie man sich im herkömmlichen sinn gravitation vorstellen würde.

je massereicher ein objekt, desto gekrümmter der raum, desto schneller bewegt man sich im freien fall durch selbigen, richtig? d.h. nicht die masse eines objektes wirkt wie eine art magnet auf andere objekte, sondern die dadurch hervorgerufene krümmung des raumes "fängt" masseärmere objekte ein (siehe planeten, die um die sonne kreisen)

 

[ruyven_macaran]

@bishop
*grübel*
Nur zum Verständniss: Das würde beudeten, dass deine einfache Erklärung vom Anfang (mit Kreis und Dreieck) gar keine Hinweise auf die Existenz weiterer Dimensionen liefert - sondern nur auf eine Krümmung, die aber sich aber auch einfach ohne weitere Dimension ins krümmen kann?


Um nochmal auf die Kugelkoordinaten zurückzukommen (und sich ein Stück von der Ausgangsfrage zu entfernen): Das System mit zwei Winkeln funktioniert ja nur solange, wie zusätzlich bekannt ist, dass man eine Kugel mit Radius X hat, wärend ein konventionelles 2/3/4...dimensionales Koordinatensystem mit (geraden, ungekrümmten ) Achsen die Position jedes Punktes nur unter Verwendung der Koordinaten angeben kann.
Hat diese Zusatzinformation (die offensichtlich nicht den Rang einer Dimension hat) eigentlich irgend ne besondere Bezeichung bzw. wie bezeichnet man das, dass "zweidimensionale Koordinatensystem"(Kugel) komplexer ist, als ein "zweidimensionales Koordinatensystem"(Ebene)?

P.S.: Sorry fürs nerven übrigens


@akaEmpty: "gesunder Menschenverstand" "wie man sich im herkömmlichen Sinn vorstellen würde" - ich glaube, dein Post passt nicht zum Thema

 

[bishop]

etwas betütelt hoffe ich dennoch eure Fragen angemessen beantworten können (und @ruyven; natürlich nerven eure Fragen nicht, es ist nur manchmal schwer für mich mathematisch gewonnene Erkenntnisse in "normaler Sprache" verständlich auszudrückken)

wenn es gekrümmt ist, sagt einem doch der gesunde menschenverstand schon, daß es einen höher dimensionierten raum geben muss, worin dies geschieht.

Wie Ruyven schon sagte ist es sehr gefährlich sich in solchen Dingen auf den "common sense" zu verlassen. Mathematisch jedenfalls ist es nicht notwendig einen gekrümmten Raum so zu beschreiben als würde man aus einem höherdimensionalen Raum darauf schauen. Mit geeigneten Koordinaten geht das auch so. Das schliesst diese Einbettung wie gesagt nicht aus, macht diese jedoch hier überflüssig.

wenn man davon ausgeht, daß das universum gekrümmt ist, würde man dann das selbe erleben, wenn man sich lange - und schnell - genug immer in die selbe richtung bewegt?

Was dich hier beschäftigt trifft auf eine bestimmte Klasse von Mannigfaltigkeiten zu, nämlich die endlichen und abgeschlossenen und im weiteren Sinne die einfach zusammenhängenden. Im Wesentlichen gilt das also für Kugeln und deren Verwandten, ist aber keineswegs generell so. Man kann sich zum Beispiel auch Mannigfaltigkeiten vorstellen, bei denen man eine Spirale beschreibt wenn man sie einmal durchlaufen hat. Oder die Mannigfaltigkeit ist unendlich, und man erreicht den selben Punkt nie wieder.
Es spricht jedoch wohl einiges dafür, dass unser Universum zumindest global eine Kugel ist und so würde man am selben Ort landen wenn man nur lange genug gerade aus läuft. Es ist jedoch eine Kugel mit 14 Milliarden Lichtjahren Durchmesser, daher ist diese Überlegung im Wesentlichen Phantasie

d.h. nicht die masse eines objektes wirkt wie eine art magnet auf andere objekte, sondern die dadurch hervorgerufene krümmung des raumes

Ja genau, die Masse verändert die Struktur des Raums und damit die Bahnen, die Körper in der Raumzeit durchlaufen. Aus diesen rein geometrischen Eigenschaften kann man Bewegungsgleichungen ableiten, die korrekt beschreiben wie sich Körper durch den Einfluss massiver Objekte bewegen.

Das würde beudeten, dass deine einfache Erklärung vom Anfang (mit Kreis und Dreieck) gar keine Hinweise auf die Existenz weiterer Dimensionen liefert - sondern nur auf eine Krümmung, die aber sich aber auch einfach ohne weitere Dimension ins krümmen kann?

Ja, die Bewohner einer Raumzeit können herausfinden wie ihre Mannigfaltigkeit beschaffen ist aber nicht ob diese z.B nur den Rand eines höherdimensionalen Objektes ist. Wie wir z.B alle wissen dehnt sich das Universum aus, aber es gibt keinen Raum in das es sich hineinausdehnen muss, sondern die Raumkrümmung ändert sich dermaßen, dass es für uns wie eine Ausdehnung wahrgenommen wird.

Kugelkoordinaten und gewöhnlichen kartesische Koordinaten sind vollkommen äquivalent, es sind nur zwei Möglichkeiten den selben Raum darzustellen. Es gibt ja auch Vorschriften, wie man die kartesischen Koordinaten x,y,z in Kugelkoordinaten r,theta und phi übersetzen kann.
Sie heissen nur deswegen Kugelkoordinaten, weil sich in ihnen eine Kugel sehr einfach beschreiben lässt. Mit der selben Legitimation kannst du kartesische Koordinaten "Würfelkoordinaten" nennen, weil sich dieser Körper besonders einfach in ihnen beschreiben lässt.

Bei Koordinatensystemen kommt es auf ein Paar für uns unwichtige Dinge an, aber das wichtigste ist die Anzahl der unabhängigen Variablen, denn diese geben die Dimension an. Du kannst dir zwei völlig wirre Koordinatensysteme überlegen und sie prinzipiell auch ineinander überführen solange sie ein paar mathematische Voraussetzungen erfüllen.
Das uns so liebgewonnene kartesische Koordinatensystem ist keineswegs das einzig Mögliche um unseren Raum zu beschreiben! Es ist nur für uns Menschen irgendwie das anschaulichste und somit häufig das simpelste um Dinge zu beschreiben. Wenn man aber genau darüber nachdenkt so ist das kartesische Koordinatensystem auch das unnatürlichste, denn global gesehen ist das Universum und unsere Welt alles andere als Rechtwinklig ^^

 

[ruyven_macaran]

Koordinatensysteme sind nunmal künstliche Konstrukte. Aus dem klassischen Würfelsystem leitet sich aber unser Konzept eines dreidimensionalen Raumes ab, in dem alle drei Dimensionen ähnlichen Gesetzmäßigkeiten folgen. Z.B. kann ich die Geschwindigkeit eines Objektes im Raum aus einer Veränderung seiner rechtwinklig zueinander stehenden Koordinaten A, B und C berechnen, ohne zu Wissen, welche davon X, welche Y und welche Z sind. Vertausch bei Kugelkoordinaten mal r und phi...
("rechtwinklig" hast du übrigens weiter oben mal zum durchzählen von Dimensionen genutzt)
Umgekehrt würde "beliebiges Koordinatensystem" bedeuten, das unser Raum vierdimensional genannt werden könnte, wenn sich jemand ein Konstrukt einfallen lässt, das vier Werte braucht, um ihn zu beschreiben - oder gar mehr. (Ich bin gerade zu unkreativ. Aber wenn man von einer Kartoffel -statt Kugel- als Grundebenensystem ausgeht, sollte es kein Problem werden )