Ich installierte mir Wireshark und testete damit rum (, ohne so recht Ahnung zu haben, was ich tat). Der 2. PC sah die Broadcasts vom Problemkind. Dieser wiederum tätigte nach einer Weile nur noch im Sekundentakt die selben "Who is"-ARP-Aufrufe.
Ich habe nichts mit DHCP sehen können, aber ich weiß auch nicht, wonach ich da explizit schauen muss. Mit 'nem ipconfig /renew soll man entsprechende Aktionen wohl forcieren können. Das gab aber ein timeout in der Konsole und keine Einträge im Wireshark.
Wenn ich aber mal die Resets und dann das Renew versuche, vielleicht sehe ich dann mehr? Ich musste noch einmal kurz nach der Syntax googlen, stieß dabei auf einen Artikel, der den Netzwerk-Reset über die Netzwerkeinstellungen vorschlug. Egal. Hauptsache, ich kann was sehen. Es gab eine Warnung, dass "Netzwerksoftware" nicht mehr funktionieren könnte. Das war neu. Das System gab mir 5 Minuten bis zum Neustart Zeit und fragte währenddessen auch ab, ob andere PCs meinen sehen dürfen. Und seit dem Neustart funktioniert der Internetzugang über den Switch. ...
Meine Vermutung: Windows hat beim Zurücksetzen auf irgendwelche unvollständigen oder fehlerhaften Werte zurückgegriffen, mit denen es sich initialisiert. Das De- und Reaktivieren des Adapters und die Konsolenbefehle reichen hier anscheinend nicht aus. Und auch Troubleshoot macht nur einen Teil davon, auch wenn es zwischenzeitlich etwas von "reset adapter" angibt.
Nach mehreren Neustarts läuft der PC über den Switch nach wie vor einwandfrei.
Ich danke allen Kommentatoren vielmals für die Hilfe und die Infos.