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Ich habe mein Gmail und meinen Hotmail Account auf der Mail App von Yosemite hinzugefügt. Am Anfang und noch mit Mavericks lief aller gut aber jetzt zeigt er manchmal immer diese Meldung an...
Lösch diie Konten nochmal und richte sie neu ein, vll. löst das das Problem.
Ansonsten kannst du mal nach alternativen SMTP und IMAP Logins für Google und Hotmail suchen und mit der SSL-Option rumspielem
Schon mal gecheckt ob in deinem Google-Account noch alles tutti ist? IMAP aktiv? Siehe https://support.google.com/mail/answer/77695.
In der Mail.app kannst du auch nochmal anhand dieser Anleitung checken, ob der Account richtig eingerichtet ist.
Wird vermutlich analog dazu auch für Hotmail irgendwo im Netz eine Anleitung zu finden sein...
Notfalls wie schon gesagt Konten neu einrichten (dauert ja nicht lange) - sollte es dann immernoch nicht funktionieren schauen ob vielleicht in "Details einblenden" relevante Infos stehen